Pourquoi Etudier la Trigonométrie?

 

Traduit de l’anglais par

Jean-Yves Degos.

 

 

La question suivante a atterri sur une liste de discussion électronique appelée “math-teach”, à laquelle participent principalement des enseignants de mathématiques à l’école, professeurs de mathématiques ou de didactique des mathématiques, courant 1996 :

Vous enseignez la trigonométrie à un groupe de lycéens sceptiques et ils veulent savoir “Pourquoi apprenons-nous la Trigonométrie?”

 

Réponses inacceptables :

 

1. C’est le chapitre suivant du manuel.

2. Le comité des programmes dit que vous devez le faire.

3. C’est au programme du SAT (Stanford Achievement Test, NDT)

4. Les mathématiciens trouvent cela “élégant”.

5. Dans le cas où vous auriez besoin de connaître la hauteur d’un mât de pavillon.

 

Quand la question a surgi pour la première fois, j’ai cru à une plaisanterie, l’humour reposant sur le fait que la liste contient quatre réponses usuelles et une dernière, stupide. La vraie réponse à la question “Pourquoi la trigo?” me semblait évidente, et je supposais qu’elle l’était également pour la personne qui posait la question. Je répondis gaiement, en faisant référence à une autre question stupide datant d’environ 1942, lorsque j’étais étudiant en Physique.

Cette question, reproduisant ce qui apparaît trop souvent dans les examens censés avoir des visées pratiques et concrètes, était :

“Comment utiliseriez-vous un baromètre pour mesurer la hauteur d’un immeuble?”. Vous parlez d’une question ouverte! La réponse attendue, comme chaque candidat ayant l’expérience des interrogations écrites en lycée le savait, était que la mesure de la pression atmosphérique avec un baromètre en bas puis en haut de l’immeuble, et ensuite l’application d’un coefficient (trouvé quelque part dans un livre) vous indiquent dans quelle mesure la pression diminue avec l’altitude. Les altimètres des avions utilisaient ce principe, qu’on trouvait extrêmement pratique avant la création  du radar et le début de la seconde guerre mondiale.

Mais “Comment utiliserions-nous, nous, le baromètre pour mesurer la hauteur d’un immeuble ?” donna lieu à de franches  rigolades dans les rangs des enseignants de mathématiques ou de physique (rangs que j’ai plus tard rejoints), et certaines des propositions suivantes me restent en mémoire :

1.       Mesurez la longueur du baromètre et reportez-la verticalement  et autant de fois que nécessaire sur la façade de l’immeuble. Multipliez sa longueur par le nombre de fois qu’il faut répéter l’opération pour arriver au sommet.

2.       Apportez le baromètre sur le toit laissez-le tomber au bas de l’immeuble. Le temps qu’il met avant de s’écraser est proportionnel à la hauteur, comme le dit la célèbre formule de Galilée : h=(1/2) gt²

3.       Vendez le baromètre et embauchez un notaire avec les bénéfices.  Envoyez le notaire se renseigner auprès des architectes municipaux pour obtenir l’information désirée.

J’ai dû obtenir une dizaine de réponses tout aussi valables, “pratiques” comme toute personne dévouée aux théories pédagogiques actuelles pourrait l’exiger. Il n’a jamais été difficile de rire des modes pédagogiques en vogue, quelle qu’en soit l’époque. Quant aux questions d’examen, ce constat est encore plus vrai. J’ai donc mentionné ce constat aux gens de la liste “math-teach”, sur un mode léger, pensant que mon point de vue avait été saisi : posez une question stupide, vous obtenez une réponse stupide. Mais des échanges plus récents sur “math-teach” sur le thème “Pourquoi la trigo ?”, qui tendaient à éviter de véritables explications (recevables par des lycéens  condamnés à étudier ce sujet apparemment obsolète, et par leurs parents), m’ont persuadé que la question était sérieuse. Malgré tous les efforts des professions scientifiques depuis l’année où C. P. Snow déplora le premier le phénomène des “Deux Cultures” tel qu’il le constata en 1960, la plupart des gens instruits placent encore la science et les mathématiques sur le même plan que les activités des dentellières ou des pilotes de ligne :  elles ont une utilité certaine, nous sommes prêts à payer leurs services lorsque nous en avons besoin, mais aucun d’entre nous ne pense nécessaire de s’informer en détail sur leur profession.  Par conséquent, j’ai concocté quelques réponses sérieuses.

 

D’abord, je suis d’accord pour dire qu’il est regrettable que de telles questions soient posées. Ceux (des enseignants en mathématiques) qui comparent cette question à “Pourquoi lire Shakespeare?” ont parfaitement raison. La trigonométrie fait partie du bagage d’une personne instruite, au même titre que l’histoire, la littérature, la biologie, et le reste. Les étudiants n’ont pas pour habitude de demander quelle est l’utilité de l’étude de Shakespeare, de l’histoire de la Guerre Civile américaine ou d’Hitler. Les références à ces domaines sous-tendent tout ce que nous lisons, voyons au cinéma, ou entendons dans les discussions de famille depuis notre plus tendre enfance ; et donc nous - étant enfants - comprenons simplement que connaître ces domaines est aussi essentiel que de maîtriser la parole, la lecture et l’écriture. De même, les enfants tendent à avoir conscience de la nécessité de compter leur monnaie lorsqu’ils font un achat avec un billet de cinq dollars, et de compter en général, parce qu’ils le voient faire autour d’eux chaque jour, tout comme ils entendent les gens parler anglais.  Quand je dis que je trouve regrettable que la question de la trigonométrie se pose, le fond de ma pensée est que les enfants ont souvent l’impression fausse - impression qu’illustre cette question - qu’il y a deux raisons différentes qui motivent l’acquisition de connaissances, qui permettent de classer ces connaissances en catégories : La première catégorie est formée des connaissances qu’il faut évidemment acquérir parce qu’elles font partie de la culture générale dans laquelle ils baignent dès qu’ils apprennent à lire. Ils ont besoin de savoir ce qu’est un grand méchant loup, une princesse, et de savoir faire de la monnaie sur un billet de cinq dollars. Ces connaissances peuvent être pratiques ou non (ils n’auront jamais l’occasion d’avoir peur d’un loup, ou de  rencontrer une princesse), mais elles sont tellement répandues qu’elles ne font pas l’objet de questions telles que “Pourquoi doit-on apprendre cela?” Ensuite viennent les connaissances que l’on ne fréquente pas tous les jours. La trigonométrie et Shakespeare semblent être deux exemples de cette seconde catégorie. Elles sont partie prenante de notre culture (je reviendrai sur ce point plus bas), tout comme le grand méchand loup et le billet de cinq dollars, mais puisqu’on ne les rencontre pas aussi fréquemment dans son enfance, elles tendent (à l’école),  à être considérées soit comme imposées à l’enfance et à son esprit indéfinissable, soit comme nécessitant une justification différente des connaissances précédentes qui sont liées de manière tellement plus évidente au vécu de l’enfant.

 

On invente alors un second type de justification : l’aspect soi-disant “pratique” des mathématiques, comme si elles différaient des autres écrits, dans la façon dont elles offrent aux esprits éveillés des moyens de comprendre et éventuellement de contrôler l’univers. Une caractéristique curieuse et fâcheuse de notre civilisation actuelle est que personne ne pense nécessaire de mettre en doute ou de défendre la place des connaissances correspondantes en littérature ou en musique pour des motifs semblables.  Si nous justifiions la lecture de Shakespeare en arguant que les romanciers et les poètes en ont besoin pour les aider à écrire leurs livres, nous nous en tirerions aussi mal que lorsque nous défendons les mathématiques à l’heure actuelle. Pourquoi étudier Shakespeare quand on sait déjà qu’on ne deviendra pas écrivain professionnel ?

 

Nous ne défendons pas Shakespeare pour des motifs aussi  grossiers que son aspect “pratique”, parce que la question ne se pose même pas. Si elle se posait, si quelqu’un demandait vraiment “Pourquoi devrais-je étudier la littérature? Pourquoi en ai-je besoin?” nous dirions avec sérieux “Il est tout simplement impossible de dire quand et si vous en aurez besoin. Vous en avez besoin tous les jours. Cela fait partie de votre bagage intellectuel”. Resteraient encore les éternels insatisfaits. La même réponse à propos de la trigonométrie est certainement peu partagée. Nous pourrions poursuivre (disons dans le cas de Shakespeare, ou d’autres écrits littéraires) comme suit :

 

“La littérature est comme un muscle quelconque de votre main : s’il faiblit, il ne fonctionnera pas aussi bien, mais il est très difficile de définir quels mouvements seront génés et dans quelle mesure. Vous voulez que votre main entière soit forte, et qu’elle sache puiser dans ses réserves d’énergie lorsque le besoin s’en fait sentir, même si vous n’avez pas conscience de ces réserves auxquelles vous faites appel.

Ainsi l’athlète entraîne-t-il l’ensemble de son corps, et pas seulement les muscles qu’il imagine être utiles lors du meeting de la semaine suivante. Avec un entraînement adapté, son corps entier voit ses possibilités s’accroître ; ceci est une explication suffisante, et qui fonctionne. Pourquoi ne donne-t-on pas le même argument pour l’exercice mental  consistant à expliciter les relations géométriques qui régissent notre perception du monde?”

Cet argument n’est pas, au passage, la thèse du “transfert d’entraînement”, très courue au siècle dernier, selon laquelle les mathématiques, en formant l’esprit, forment également, “ipso facto” les autres capacités cérébrales. Le pendant physique de cet argument serait qu’en faisant travailler ses doigts, on développe d’une manière ou d’une autre ses muscles abdominaux. On pensait jadis que l’exercice mental était en ce sens profitable, mais plus tard les expériences des psychologues démontrèrent que cela n’était pas le cas, et que cette discipline en algèbre n’améliore aucunement, par exemple, l’aptitude à mémoriser des numéros de téléphone. En réalité, cette question n’est pas encore entièrement réglée, mais cela n’est pas vraiment nécessaire. Nous n’avons pas à justifier l’enseignement de la trigonométrie par un argument du type : cela vous aidera à plaider au tribunal si vous devenez avocat. (En fait, je crois pour ma part que c’est le cas. Ma fille est avocate : elle a étudié le calcul à l’université, et elle ne le regrette pas.) Ainsi, l’argument du “transfert d’entraînement” est douteux, et celui de la mesure des mâts est risible. L’aspect indispensable de la trigonométrie pour les ingénieurs et les scientifiques n’est pas non plus un motif suffisant, puisque qu’il ne concerne pas ceux qui n’ont aucune intention de devenir ingénieurs ou scientifiques. S’il y a une réponse, ce n’est pas celle de l’orientation professionnelle. La vraie réponse ? La trigonométrie fait partie intégrante de notre culture, et devrait être tout aussi évidente dans la vie de tous les jours que Dickens ou Shakespeare. Pourquoi ne peut-on y parvenir? Pourquoi notre vocabulaire quotidien est-il à ce point pauvre que, alors que nous pouvons parler du Communisme, ou de la dette nationale, aucun journal ne publie jamais une formule algébrique, et qu’aucun chroniqueur n’a jamais, à ma connaissance, évoqué la sécante de l’angle d’inclinaison?  Ces choses sont dans nos cordes, et pourraient augmenter notre capacité à décrire le monde et à faire référence à ses propriétés, exactement comme notre capacité à citer Mr Bumble ou Hamlet nous le permet.  Nous regarderions même le monde un peu différemment. Quelqu’un qui a appris la trigonométrie peut prendre un peu de hauteur grâce à cela. Comme chaque autre composante des mathématiques, de la littérature, ou bien de l’histoire, la trigonométrie fournit à notre esprit un cadre qui rend l’univers sensible chaque jour plus compréhensible.

 

Une partie en est pratique, bien sûr, mais c’est une erreur désastreuse de présenter cette partie comme si c’était la seule ou la plus importante.

Comment pouvons-nous alors la présenter autrement ? Se contenter de dire à nos enfants qu’ils prendront un peu de hauteur grâce à cela ne suffira pas (nous risquerions de nous voir qualifier d’hautains).  Nous devons d’une manière ou d’une autre parvenir à présenter la matière elle-même de façon à ce qu’elle véhicule à elle seule son intérêt.

Tout comme l’athlète à qui on demande de s’entraîner doit seulement savoir qu’il sentira son corps en meilleure forme et plus fort grâce à cet entraînement, l’intellectuel devrait s’entraîner de manière à se sentir plus fort et plus heureux mentalement. Un entraînement suivi hors de tout contexte est voué à l’échec. Par le passé, avec la plupart des gens, cela s’est avéré exact.

Il arrive quelquefois que l’âge et l’expérience seuls fournissent le contexte, et qu’une personne qui a vécu un minimum voie la beauté, et effectivement l’utilité, de connaissances comme la trigonométrie, simplement parce qu’elle a pour ainsi dire l’expérience nécessaire.  Après la seconde guerre mondiale, par exemple, les soldats qui retournèrent à l’université avaient en moyenne trois ans de plus que les autres étudiants, et cela se remarquait dans la qualité de leur travail : aucune autre génération ne les égala. Hélas, instruire si tard entraîne une perte de temps importante, et une autre méthode doit être envisagée.

Je voudrais l’illustrer avec une histoire qui concerne mon père, qui émigra de Pologne lorsqu’il était jeune, en n’ayant jamais reçu aucune instruction mathématique ou scientifique. Il aimait l’idée que je sois mathématicien, mais comprenait à peine de quoi il s’agissait. Quelque chose ressemblant à ce que faisait Einstein, peut-être, mais il ne connaissait rien du travail d’Einstein non plus.

Mon père était une espèce de menuisier amateur; en tant que petit entrepreneur, il fabriquait souvent des objets pour son magasin : des rayonnages, des comptoirs, des étalages de vitrine. Un jour, alors qu’il avait déjà atteint soixante ans, il porta à ma connaissance l’observation suivante : En fabriquant une pièce verticale pour un jeu de rayonnages, il dut soutenir un des montants avec un étais en bois, en clouant une de ses extrémités au sol à environ trente centimètres de la base du montant, et posant l’autre sur la planche verticale. L’étais n’était pas nécessairement à un angle de 45 degrés, mais dépendait de certaines restrictions du reste de la structure. Lorsqu’il plaça l’extrémité libre à un point distant du sol de 20 cm, m’expliqua-t-il, l’étais devait évidemment être plus long que la ligne au sol (n.d.t. : la distance au sol entre la base de l’étagère et l’extrémité clouée) : environ 5 cm de plus que cette dernière, estimait-il. Mais lorsqu’il souhaita placer l’extrémité libre à une distance deux fois plus grande du sol (c’est-à-dire à 40 cm), il dut ajouter à la longueur de ce deuxième étais plus de deux fois ce qu’il avait ajouté au premier. Il évaluait cette nouvelle longueur à environ 50 cm, soit 20 cm de plus que la ligne au sol, et non 10 cm de plus comme il s’y attendait après en avoir placé l’extrémité à une hauteur double de la première. Pourquoi ? Son langage n’avait rien de technique, mais il constatait que la longueur d’une diagonale ne croit pas de manière proportionnelle à la hauteur.

 

Il est vrai qu’il ne s’agissait pas vraiment d’un problème pratique, bien que tout ait commencé avec la menuiserie. Il n’éprouva jamais de difficulté au cours de sa vie à effectuer des schémas à l’échelle et à découper son bois en respectant ces derniers. Il n’avait jamais entendu parler de la trigonométrie. Comment se fait-il qu’en concevant un étais appuyé sur un montant à une hauteur de 40 cm, il faut ajouter à la longueur de la ligne au sol plus de deux fois ce que l’on y avait déjà ajouté pour concevoir un premier étais appuyé à 20 cm du sol ?

Evidemment, sa découverte (si on peut dire) était celle du comportement de la cosécante de l’angle que faisait son étais avec le sol. Plus simplement, il avait pu observer la concrétisation du théorème de Pythagore, pour laquelle même sans recourir aux mesures d’angles on peut constater les écarts dans les proportions quand la hauteur croît.

Je dis  “évidemment” pour souligner que ce que je décris n’est pas plus complexe que le discours de Polonius à Laertes, et devrait de même faire partie de notre vocabulaire, si nous voulons faire facilement référence au monde tel que nous le connaissons, tel que nous le voyons quotidiennement de nos propres yeux. A la question de savoir pourquoi la fonction cosécante se comporte de cette manière, il n’y a vraiment aucune réponse, excepté que l’espace Euclidien est ainsi fait, la relation de Pythagore étant en effet la définition de l’espace Euclidien (une autre observation philosophique d’intérêt culturel!). Mais je fus  capable de lui montrer d’autres exemples de la relation qu’il avait observée, accompagnés de quelques diagrammes pour illustrer les ratios lorsque l’angle se rapproche de zéro et lorsque l’angle de rapproche de 90 degrés.

 

Eh bien, il trouva cela très intéressant. Il avait pensé que c’était le genre de choses que les mathématiciens connaissaient, mais il n’en avait jamais été sûr. Il fut vraiment sidéré lorsque je lui racontai que non seulement ces faits étaient connus depuis plusieurs milliers d’années, mais encore que les résultats avaient été mis en tables aussi précises que celles des intérêts bancaires des gages, et que les astronomes s’y référaient depuis l’époque de Ptolémée, il y a deux mille ans de cela, époque durant laquelle elles étaient indispensables pour prévoir les conjonctions planétaires et autres phénomènes célestes. Et qu’en plus, sans dessiner aucun schéma ou diagramme à l’échelle, je pouvais, grâce à des tables, prévoir la longueur de son étais quel que soit la hauteur de

son extrémité libre, et ce, que sa ligne au sol mesure 30 cm ou non ! Il n’avait aucun besoin de regarder des tables de sinus et de cosinus— pour ses travaux de charpentier amateur, ce type d’informations n’avait aucune valeur—mais je lui montrai quand même un livre de tables.

(Aujourd’hui, avec les calculatrices dont nous disposons, j’aurais dû recourir à d’autres outils pour lui montrer que ses observations étaient remarquables, et qu’elles remontaient à l’Antiquité).

Imaginez tout ce qu’il aurait pu apprendre, et combien d’autres choses il aurait pu tirer de l’histoire de l’humanité, s’il avait disposé dans son enfance de quelques semaines pour calculer un triangle ou deux, d’un enseignant et d’un manuel qui lui auraient présenté le problème selon l’angle qu’il avait découvert par lui-même après soixante ans. Alors qu’il était jeune et romantique, il avait lu des ouvrages concernant le code d’Hammourabi : pourquoi n’aurait-il pas pu également apprendre les “triplets” de Pythagore et les tables trigonométriques dont ils sont issus, ceux que l’on trouve sur la célèbre tablette numéro 322, elle aussi issue de la vieille Babylone (aujourd’hui sise dans la collection Plimpton de l’Université de Columbia) ? Nous ne sommes plus soumis aux lois d’Hammourabi, mais ce que décrivent les tables de Plimpton est toujours valable.

 

Si je lui avais parlé des mâts et des étais en tant que tels, cela ne l’aurait pas intéressé : il savait tout ce qu’il avait besoin de savoir sur les étagères et les mâts depuis son enfance. La discussion se poursuivit, et il comprit bien que ses étagères n’étaient que la langue dans laquelle les relations qui le fascinaient tant s’exprimaient. Même sans donner de nombres, le comportement de la diagonale au voisinage de zéro ou de quatre-vingt dix degrés l’intéressait plus que tout le reste réuni.  C’est peut-être la seule fois de son existence où il a entrevu la nature des mathématiques.

 

Qu’en a-t-il tiré de bon ? J’aimerais qu’il fût encore en vie, pour qu’il puisse vous répondre directement.

 

Ralph A. Raimi

 2002/11/3